أحدث الموضوعات

اشتقاق المعادلة الأساسية للنظرية الحركية الجزيئية للغازات (المعادلة الحركية للغازات)




في هذا الموضوع بإذن الله سوف نتناول كيفية اشتقاق أو استنتاج المعادلة الأساسية للنظرية الحركية Fundamental Equation of the Kinetic Theory أو فيما يعرف بالمعادلة الحركية للغازات Kinetic Equation of Gases

المعادلة الأساسية للنظرية الحركية للغازات

الصیغة الریاضیة للمعادلة الأساسیة للنظریة الحركیة:


P: الضغط بوحدة Pa
V: الحجم بوحدة m3
N: عدد الجزئيات
m: كتلة الجزئ الواحد بوحدة Kg
u᷆2: متوسط مربع سرعة الجزئ بوحدة m2/s2

اشتقاق المعادلة الحركية للغازات Derivation of Kinetic Equation of Gases

(1) من الممكن بناءً على فروض النظریة الحركیة للغازات إیجاد علاقة تربط بين ضغط الغاز المثالي (P) وكتلة الغاز (m) وسرعة الجزيئات (u)

(2) نفترض أن لدينا غاز محبوس في إناء مكعب الشكل طول ضلعه (L) وحجمه (L3) ومساحة كل جدار له(L2).

(3) يحتوي المكعب على (N) من الجزئيات ، كتلة الجزئ الواحد منها (m) وسرعته (u) عند درجة حرارة ثابتة.

(4) ووفقاً للنظریة الحركیة للغاز فإن الجزیئات تتحرك عشوائیة في جمیع الإتجاھات · (تتحرك في كل اتجاه)

(5) ولتبسیط الاشتقاق فإنه یمكن تحلیل السرعة (u) للجزیئات في أي لحظة في ثلاث اتجاھات محوریة (x, y, z) متعامدة على بعضھا كما ھو مبین بالشكل التالي:


وبالتالي فـ (1/3) من الجزيئات أى (1/3) N يتحرك في اتجاه الإحداثي X ، ومثله في اتجاه الإحداثي Y وآخر في اتجاه Z وھذا التبسیط لا غبار علیه حيث یمكن تحلیلھا الى مكوناتھا في اتجاه ثلاثة محاور عمودیة هي(X, Y, Z)  

(6) ینتج ضغط الغاز على أي جدار من جدران الإناء نتيجة الإصطدامات التى تقوم بها الجزيئات على هذا الجدار. ومن المعروف أن القوة الناتجة عن كل اصطدامه یمكن حسابھا من معرفتنا أن القوة عبارة عن معدل تغیر كمیة الحركة مع الزمن . ومن معرفتنا لهذة المبادئ يمكن أن نشتق المعادلة العامة للغاز المثالي.

(7) ولنرمز الى السرعات في الإتجاھات الثلاث بالرموز (ux , uy, uz) ومتوسط الجذر التربيعي للسرعة u᷆ 2 ويسمى باللغة الأنجليزية  Root Mean Square Velocity


(8) وإذا تصورنا جزیئاً واحداً یصطدم بجدار المكعب (A) أي في اتجاه المحور الإحداثي (x) وبسرعة قدرها (u m/s) هذا الجزيء المتحرك في هذا الاتجاه سيصطدم بالجدار المظلل كما قطع مسافة (2 L cm) خلال مساره وذلك لأنه بعد الاصطدام لابد أن يقطع مسافة (L) ليصل الى الجدار المقابل ثم يعود مسافة (L) ليصطدم مرة أخرى بالجدار المظلل أى يقطع مسافة (2 L) ليصطدم مرة أخرى بنفس الجدار.

(9) فإذا كان الجزيء يتحرك بسرعة (u m/s) فمعنى ذلك أنه خلال ثانية واحدة يكون قد قطع مسافة (u cm).

وبالتالي فالزمن الذي یمر قبل أن یقوم الجزيء بعمل اصطدامه ثانية مع نفس وجه الصندوق تحدده العلاقة:


(10) وبالتالي فإن عدد الإصطدامات التي سیحدثھا على الجدار المظلل في الثانیة الواحدة (في وحدة الزمن) یكون مساویاً للمسافة التي قطعھا في الثانیة الواحدة مقسوماً على المسافة التي یقطعھا لیحدث الإصطدامة (مقلوب التعبیر السابق)


وبفرض أن عملیة الإصطدام مرنة فإن الجزيء سوف یرتد في الإتجاه المعاكس بنفس السرعة السابقة (لأن الاصطدام مرن) مع عكس الإشارة (- u) وبالتالي فإن كمیة تحرك الجزيء (كمیة الحركة للجزيء) قبل اصطدامه بالسطح (الجدار A) في اتجاه المحور x تساوي:


وكمية الحركة بعد الاصطدام بالجدار = - mu

(11) إذا التغير في كمية التحرك للجزئ الواحد في كل اصطدامه على السطح (A) (التغير في كمية الحركة للإصطدام الواحد)


والآن فإن القوة التي یؤثر بھا جسیم وحید على ذلك الوجه من الصندوق یحددھا معدل التغیر في كمیة التحرك الذي یمارسه الجسیم (القانون الثاني لنیوتن):


ولھذا سیكون التغیر في كمیة التحرك لكل ثانیة بالنسبة لجزيء واحد للسطح الواحد في الذھاب یساوي


(12) وعند الإیاب سوف یتعرض السطح (B) المقابل بحیث یصبح التغیر في كمیة التحرك لكل ثانیة لنفس الجزيء ھو:


(13) وبالتالي فإن معدل التغیر في كمیة التحرك لكل ثانیة للجزيء على السطحین المتقابلين (A, B) على طول المحور X يساوي:


(14) وبالمثل یمكن حساب التغیر في كمیة التحرك لنفس الجزيء في اتجاه المحورین الآخرین (y, z) يساوي على التوالي:


(15) ویصبح التغیر الكلي في كمیة التحرك بالنسبة للأوجه الستة للمكعب ھو:


(16) وطبقاً لقانون نیوتن للحركة فإن معدل التغیر في كمیة التحرك یكون مساویاً للقوة المؤثرة، والقوة الناتجة عن ضربات الجزيء الواحد ھي:


(17) القوة الكلية الناتجة عن عدد N من الجزيئات هي:


(18) وحیث أن الضغط یعرف بأنه القوة الدافعة على وحدة المساحات:


حيث أن (P) الضغط ، A مساحة سطح الوجة الواحد من المكعب وحيث أن مساحة أوجه المكعب الست هي:


وبالتالي:


وتعرف ھذه المعادلة بالمعادلة الحركیة للغازات المثالیة.

** یمكن كتابة التعبیر الأخیر لضغط الغاز بصورة بدیلة، حیث:

(mN) هي الكتلة الكلية للغاز

 (V) هي الحجم الكلي

(d) الكثافة وتساوي mN/V

وتصبح المعادلة كما يلي:

معادلة الطاقة الحركية للجزئيات

الصيغة الرياضية


K᷆e : الطاقة الحركية بوحدة  (J)لجزئ واحد من الغاز

m : كتلة الجزئ الواحد بوحدة الكيلو جرام (Kg)

u᷆2 : متوسط مربع سرعة الجزيء بوحدة (m2/s2)

** الطاقة الحركية لعدد (N) من الجزيئات هي:
  

مثال محلول

احسب الضغط بوحدة kPa المبذول بواسطة (2 x 1021 molecules) من غاز النيتروجين في وعاء حجمه (1 L) علماً بأن متوسط مربع السرعة لهذة الجزيئات هو (244036m2/s2) (الكتلة الذرية لعنصر النيتروجين = (14

الحل:

نحسب أولاً كتلة ا لجزيء الواحد من غاز النیتروجین بوحدة Kg:


وبتطبیق المعادلة الأساسیة للنظریة الحركیة للغازات:


المراجع:
أسس الكيمياء العامة والفيزيائية - الجزء الأول.عمر بن عبد الله الهزازي ، قسم الكيمياء- كلية العلوم – جامعة أم القرى – المملكة العربية السعودية


ليست هناك تعليقات